Đại Kỷ NguyênTin tức thời sự quốc tế cập nhật 24/7, văn hoá truyền thống
Mọi người đều biết Blaise Pascal là một thần đồng toán học và một nhà khoa học vĩ đại, nhưng ít người biết ông là người đầu tiên nêu lên bản chất giới hạn của toán học nói riêng và tư duy duy lý nói chung. Ba trăm năm sau, triết học của Pascal được chứng minh một cách toán học bởi Định lý Bất toàn của Kurt Gödel…
René Descartes (1596 – 1650) và Blaise Pascal (1623 – 1662) là hai nhà tư tưởng vĩ đại của nước Pháp và thế giới, sống cùng thời nhưng đối lập trong cái nhìn về sức mạnh của tư duy duy lý. Nếu Descartes đề cao tư duy duy lý như công cụ nhận thức mạnh nhất thì Pascal lại chỉ ra chỗ yếu của kiểu tư duy này và nhấn mạnh vai trò của trực giác. Nếu Descartes có ảnh hưởng rộng khắp vì sự thắng thế của chủ nghĩa duy lý trong mấy thế kỷ vừa qua thì Pascal có ảnh hưởng hẹp hơn, thậm chí bị nhiều người lãng quên vì tinh thần phê phán của ông đối với chủ nghĩa duy lý, và hơn nữa, vì đức tin tôn giáo rất mực thuần thành của ông. Nếu Descartes nổi tiếng với câu châm ngôn “Tôi tư duy, vậy tôi tồn tại” (Cogito Ergo Sum) và cuốn “Luận văn về Phương Pháp” (Discours de là méthode) thì Pascal nổi tiếng như một thần đồng toán học và đặc biệt, vì cuốn “Pensées” (Tư tưởng) – một tuyệt tác triết học thâm thuý đến nay vẫn còn nguyên giá trị.
Pascal có một cuộc đời ngắn ngủi, chỉ có 39 năm, nhưng tư tưởng của ông là bất diệt. Tuy nhiên bức chân dung Pascal do sách báo và các nền giáo dục mô tả nói chung không đầy đủ: trong khi mọi người đều biết Pascal là một thần đồng toán học thì hầu như rất ít người biết rõ tư tưởng triết học và thần học của ông, mặc dù có thể đây mới là phần tài sản lớn nhất và quý giá nhất mà ông để lại cho hậu thế.
Vì Pascal trước hết là một nhà toán học, nên một trong những chủ đề triết học được ông thảo luận sâu sắc nhất là triết học toán học, hay nói rộng ra là triết học về nhận thức – triết học về những con đường nhận thức khác nhau và về giới hạn của nhận thức duy lý. Đọc những thảo luận triết học này, chúng ta có thể sẽ kinh ngạc nhận thấy tư tưởng của ông có nhiều điểm rất tương đồng với Gödel sau này. Với những gì Pascal đã viết, có thể nói ông chính là người đầu tiên vạch rõ bản chất hạn chế của tư duy lý trí và đề cao vai trò quyết định của cảm thụ trực giác trong hành trình khám phá sự thật. Câu ngạn ngữ “tư tưởng lớn gặp nhau” (les grands esprits se rencontrent) có thể áp dụng rất đúng cho trường hợp của Pascal và Gödel, mặc dù hai người sống cách nhau 3 thế kỷ!
Tư tưởng của Pascal tập trung trong cuốn PENSÉES (Suy tưởng), tác phẩm nổi tiếng nhất của ông, được xuất bản lần đầu tiên năm 1669, bẩy năm sau khi ông mất, trong đó ông viết :
“ Bước cuối cùng của lý lẽ là nhận ra rằng tồn tại vô số thứ ở phía bên kia tầm với ” (1) .
Thông điệp của tác giả rất rõ ràng:
Tư duy lý lẽ dù có giỏi đến mấy, rốt cuộc cũng chỉ đạt tới một ngưỡng nhất định không thể vượt qua. Bên kia cái ngưỡng ấy có rất nhiều sự thật mà con người muốn biết và rất nên biết, nhưng tư duy lý lẽ bất lực. Muốn vượt ngưỡng – muốn nắm bắt được những sự thật ở bên kia tầm với – con người phải vận dụng TRỰC GIÁC, cái mà Pascal thường gọi là khả năng nhận thức bằng trái tim. Ông nói:
“ Chúng ta nhận biết chân lý không chỉ bởi lý lẽ, mà còn bằng trái tim ” (2) .
Thậm chí ông cho rằng trực giác có thể nhận biết được những sự thật mà lý trí bất lực :
“ Trái tim có những lý lẽ của nó mà lý trí chẳng hiểu gì cả ” (3)
Tại sao vậy ? Vì trực giác không bị giới hạn bởi hệ tiên đề, trong khi lý trí thì bị giới hạn.
Cuốn Pensées được viết theo kiểu liệt kê, đánh số từng câu. Rất nhiều câu đã trở thành châm ngôn đi vào lịch sử, được người đời trích dẫn rất nhiều, vì chúng quá sâu sắc. Nhưng bao nhiêu người thực sự hiểu được chiều sâu của những triết lý đó? Có một thực tế là, trong khi nhà trường dạy cho học trò nhiều thành tựu khoa học của Pascal như Tam giác Pascal, Định luật thủy tĩnh Pascal, Lý thuyết xác suất,… nhưng tuyệt nhiên không bao giờ nhắc đến triết học Pascal, tư tưởng tôn giáo của Pascal.
Tại sao vậy? Vì triết học của Pascal đi ngược với trào lưu đương thời – trào lưu tôn sùng khoa học, tôn sùng tư duy duy lý, tư duy chứng minh. Vì thế, chủ nghĩa duy lý không ưa triết học của Pascal, tương tự như sau này, nó cũng không ưa Định lý Bất toàn của Gödel.
Đóng góp của Pascal cho triết học toán học chủ yếu nằm trong tác phẩm “ Về tinh thần hình học và Nghệ thuật thuyết phục ” (De l’Esprit géométrique et de l’Art de persuader), được viết vào khoảng năm 1658, bao gồm hai phần:
Phần I: “Về Tinh thần Hình học” (De l’Esprit Géométrique)
Phần II: “Về Nghệ thuật thuyết phục” (De l’Art de persuader).
Trong đó Pascal chỉ ra rằng dù toán học chặt chẽ đến mấy, nhưng xét đến cùng nó vẫn phải dựa trên những mệnh đề đầu tiên không thể chứng minh, được gọi là các tiên đề (axioms).
Chú ý rằng vào thời của Pascal thì chỉ có một thứ hình học, đó là Hình học Euclid. Toàn bộ toán học cho đến lúc đó cũng chỉ có một lý thuyết duy nhất được xây dựng trên nền tảng tiên đề, đó là Hình học Euclid. Vì thế, khi Pascal thảo luận vấn đề nền tảng của toán học, điều hiển nhiên là ông bản đến nền tảng của Hình học Euclid. Cuối thế kỷ 19, khi David Hilbert muốn xây dựng một mô hình toán học mẫu mực theo phương pháp tiên đề, ông cũng lấy Hình học Euclid làm một tấm gương điển hình. Cụ thể, năm 1899 ông cho ra mắt cuốn “Grundlagen der Geometrie” (Cơ sở Hình học), trong đó ông nêu lên một hệ tiên đề gồm 20 tiên đề. .
Thậm chí cho đến hôm nay, khi thảo luận về triết học toán học, hoặc về nền tảng của toán học, Hình học Euclid vẫn đóng vai trò trung tâm. Chẳng hạn, trong bài báo trên tạp chí SCIENCE ngày 06/12/2002 nhan đề “Separating Truths From Provability” (Phân biệt chân lý với khả năng chứng minh) (4) , Keith Devlin, Giáo sư toán học tại Đại học Stanford ở Mỹ, vẫn dùng Hình học Euclid để giải thích và nhấn mạnh vai trò của hệ tiên đề trong các lý thuyết toán học. Vì thế, Hình học Euclid, dù đã trở thành một môn học của học sinh phổ thông, nhưng nó vẫn có một chỗ đứng xứng đáng trong tư duy triết học toán học. Nhấn mạnh điều này để thấy rõ con mắt tinh tường của Blaise Pascal, khi ông là người đầu tiên nhận thấy sự cần thiết phải đặt dấu hỏi về nền tảng của toán học thông qua Hình học Euclid. Vấn đề ông đặt ra là :
Hệ tiên đề của Hình học Euclid có đủ chắc chắn và đáng tin cậy không?
Đó là một cảnh báo sớm đối với niềm tin tuyệt đối vào tư duy lý trí. Pascal không dừng lại ở cảnh báo đó, mà lập luận rằng toán học cuối cùng vẫn phải dựa trên một loại “đức tin” – niềm tin vào các tiên đề đã được lựa chọn. Nếu bạn muốn chứng minh các tiên đề đã lựa chọn, chắc chắn bạn lại phải dựa vào những tiên đề mới, cũng do trực giác chọn ra. Cứ như thế bạn có thể mở rộng hệ tiên đề của mình mãi mãi không có điểm dừng. Rốt cuộc, không có cách nào để chứng minh hệ tiên đề đã được lựa chọn là hoàn toàn chắc chắn, ngoài niềm tin dựa trên TRỰC GIÁC .
Một khi đã thấy vai trò quyết định của trực giác trong việc định hướng khám phá, chúng ta không thể không dừng lại vài phút để tán thưởng trực giác thiên tài của Euclid.
Trực giác ấy đã giúp ông xây dựng nên hệ tiên đề của Hình học Euclid − môn hình học mà Albert Einstein gọi là “cuốn sách nhỏ về hình học thiêng liêng” (the Holy Geometry Booklet), và là mẫu mực để Isaac Newton xây dựng tác phẩm “Những Nguyên lý Toán học của Triết học Tự nhiên” (Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica). Lập luận của Hình học Euclid thuyết phục đến nỗi không chỉ các nhà toán học say mê nó, mà bất cứ ai yêu cái đẹp và tính trong sáng trong lập luận đều coi nó là sách gối đầu giường. Abraham Lincoln luôn mang theo mình cuốn Hình học Euclid trong sự nghiệp luật sư và chính trị, vì nó giúp ông tranh biện sắc sảo, thuyết phục,…
Nhưng David Hilbert, nhà toán học lỗi lạc cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20, chê hệ tiên đề của Euclid không đầy đủ. Ông kêu gọi cộng đồng toán học hợp sức lại để tái thiết toà lâu đài toán học theo phương pháp tiên đề. Để làm gương, đích thân Hilbert lao vào xây dựng một hệ tiên đề đầy đủ cho Hình học Euclid, sau này được gọi là Hệ tiên đề Hilbert. Hệ tiên đề này từng được quảng cáo rùm beng như một hệ tiên đề mẫu mực của phương pháp tiên đề. Bất chấp Định lý Gödel, trào lưu “Toán học mới” (New Maths) ở Tây phương những năm 1950-1960, đã “hạ bệ Euclid” (5) trong các trường phổ thông và thay thế bằng Hệ tiên đề Hilbert, gây nên những đảo lộn và hỗn loạn chưa từng có trong các nền giáo dục. Ngày nay, dưới ánh sáng của Định lý Gödel, người ta đã nhận ra rằng Hệ tiên đề Hilbert cũng không hoàn hảo (6) , chẳng mấy ai còn nhắc đến Hệ tiên đề Hilbert, người ta chỉ nhắc đến Hệ tiên đề của Euclid.
Trực giác thiên tài của Euclid cũng đặc biệt lộ rõ ở Tiên đề 5, tức Tiên đề đường song song. Lịch sử Tiên đề 5 là một trong những câu chuyện kỳ lạ và hấp dẫn nhất của toán học, một trong những chương hay nhất của triết học nhận thức, được tóm tắt như sau :
Trong suốt chiều dài lịch sử kể từ khi Euclid công bố bộ Cơ Sở Hình học cho đến thế kỷ 19, nhiều nhà toán học ngờ vực Tiên đề 5 không phải là một tiên đề, vì thế họ ra sức chứng minh tiên đề này. Nhưng sau hơn 2000 năm thất bại, các nhà toán học thừa nhận Euclid là một thiên tài, rằng Tiên đề 5 là một tiên đề nền tảng của Hình học Euclid. Về logic, nếu Tiên đề 5 không thể chứng minh hoặc phủ nhận thì một tiên đề phản lại Tiên đề 5 cũng không thể chứng minh hoặc phủ nhận. Vậy nếu thay thế Tiên đề 5 trong Hệ tiên đề của Euclid bằng một tiên đề phản tiên đề 5, ta sẽ có một hệ tiên đề mới, từ đó xây dựng nên một thứ hình học mới phản lại Hình học Euclid, được gọi là Hình học Phi-Euclid (Non-Euclidean Geometry). Đó là một thành tựu vĩ đại của toán học thế kỷ 19, với công lao chủ yếu thuộc về Lobachevsky, Janos Bolyai và Karl Gauss. Hình học này được Bernhard Riemann tổng quát hóa thành một thứ hình học tổng quát cho các loại không gian, và Albert Einstein đã lấy Hình học Riemann làm cơ sở hình học cho Thuyết Tương đối tổng quát của ông.
Vậy là xuất phát từ Tiên đề 5, con đường logic đã dẫn tới Thuyết tương đối tổng quát. Nói cách khác, trực giác thiên tài của Euclid đã thiết lập nên Tiên đề 5, để sau đó khoảng 23 thế kỷ, tiên đề này dẫn tới một trong những khám phá vĩ đại nhất của loài người ─ Thuyết Tương đối tổng quát !
Câu chuyện về Hình học Phi-Euclid chứng tỏ sức mạnh vĩ đại của tư duy duy lý, đến nỗi nhiều người cho rằng sức mạnh đó là vô hạn. Nhưng Pascal nói với chúng ta rằng đó là một ý nghĩ sai lầm. Dẫu thế nào thì mọi hệ quả duy lý vẫn phải dựa trên một hệ tiên đề, và hệ tiên đề này phải dựa trên niềm tin.
Thật vậy, trong tác phẩm “Về tinh thần hình học và Nghệ thuật thuyết phục”, Pascal xem xét bản chất của quá trình khám phá chân lý bằng con đường lý trí. Ông chỉ ra rằng một trong những phương pháp chủ yếu của tư duy khoa học là phương pháp suy diễn (deduction) – phương pháp thiết lập những định lý dựa trên những chân lý đã được thiết lập từ trước. Ngay lập tức, Pascal lập luận rằng những chân lý đã được thiết lập từ trước ấy lại đòi hỏi những chân lý từ trước nữa làm chỗ dựa cho nó. Chuỗi đòi hỏi ấy cứ thế kéo dài vô tận, và do đó lý trí suy diễn sẽ không bao giờ đạt tới những chân lý đầu tiên!
Nói cách khác, lý trí suy diễn không bao giờ giải thích được nguyên nhân đầu tiên!
Pascal nhấn mạnh rằng, bằng phương pháp suy diễn rất hoàn hảo của nó, hình học có thể phát triển đến bất kỳ mức độ nào nó muốn và nó có thể, dựa trên một số nguyên lý ban đầu được thừa nhận như những tiên đề, nhưng không có cách nào để biết những tiên đề này là hoàn toàn chắc chắn .
Sau đó ông lưu ý: “ Tất cả những chân lý này không thể chứng minh được; ấy thế mà chúng lại là nền tảng và nguyên lý của Hình học ” (7) .
Hơn thế nữa, Pascal nhấn mạnh rằng đó không phải là lỗi của hình học, mà là một bản chất tất yếu của nhận thức lý trí suy diễn. Ông nói:
“ …nếu khoa học này không xác định và chứng minh được mọi thứ thì lý do đơn giản là vì nó không thể ” (8) .
Đó chính là tư tưởng cơ bản của Định lý Bất toàn ! Thật vậy, Định lý Bất toàn nói rằng toán học không thể chứng minh được mọi thứ trong toán học. Pascal chỉ khác Gödel ở chỗ ông đi đến kết luận này bằng triết học, còn Gödel đi đến bằng toán học. Nhưng dẫu thế nào thì cũng phải thừa nhận rằng chính Pascal đã là người đầu tiên tuyên bố toán học không thể chứng minh được mọi thứ!
Nói cách khác, Pascal đã đi trước thời đại của ông 300 năm !
Liệu Hilbert và một loạt các nhà toán học khác trong thế kỷ 20 có đọc Pascal không ? Khó có thể tin rằng không. Vậy tại sao họ vẫn mơ giấc mơ siêu toán học – giấc mơ tìm thấy một lý thuyết toán học vạn năng có thể chứng minh được mọi thứ của toán học ? Đó là một ẩn số dành cho những người say mê nghiên cứu lịch sử khoa học và lịch sử tư tưởng. Nhưng có thể tiên đoán những lý do sau đây :
Một, giống như Định lý Gödel sau này, lý thuyết của Pascal mang tính phê phán chủ nghĩa duy lý. Điều này trái với xu thế đương thời, và do đó không được giới toán học và triết học đương thời ủng hộ.
Hai, lý thuyết của Pascal dừng lại ở triết học, không đủ để buộc giới toán học duy lý ngừng tranh cãi. Họ không và chỉ không dám cãi khi Gödel công bố định lý của mình dưới dạng toán học. Chứng minh toán học của Gödel chính xác và chặt chẽ đến mức họ không thể cãi !
Pascal kết luận:
“ Nếu nền tảng không đảm bảo vững chắc thì tòa nhà xây trên đó cũng không thể đảm bảo vững chắc ” (9) .
Đối với toà nhà toán học, nền móng là hệ tiên đề, tòa nhà xây trên đó là các định lý rút ra từ hệ tiên đề. Hình học Euclid là một tòa nhà vô cùng đẹp đẽ được xây trên hệ tiên đề Euclidean. Trong lịch sử toán học, Hình học Euclid là lý thuyết đầu tiên được xây dựng theo phương pháp tiên đề. Vì thế Euclid được coi là ông tổ của phương pháp tiên đề. Tuy nhiên, Euclid chú trọng đến tòa nhà nhiều hơn nền móng. Chính Pascal mới là người đầu tiên bận tâm tới việc xem xét nền móng của tòa nhà toán học.
Nói cách khác, Pascal là người đầu tiên đề cập đến vai trò và ý nghĩa của hệ tiên đề, điều mà hai thế kỷ rưỡi sau đó, David Hilbert phát triển lên thành một tư tưởng lớn của toán học, được gọi là Lý thuyết Tiên đề (Axiomatic Theory) hoặc Phương pháp Tiên đề (Axiomatic Method).
Nhưng Pascal hoàn toàn đối lập với Hilbert trong việc đánh giá hiệu lực của phương pháp tiên đề:
- Trong khi Hilbert tin tưởng tuyệt đối vào sức mạnh của phương pháp tiên đề như con đường dẫn tới chân lý tuyệt đối thì Pascal chỉ ra rằng phương pháp ấy chỉ có sức mạnh hạn chế, bởi nó không thể loại trừ tuyệt đối niềm tin ra khỏi hệ thống logic suy diễn
- Trong khi Hilbert tin tưởng mạnh mẽ rằng toán học trước sau thể nào cũng sẽ tìm ra một hệ tiên đề chắc chắn và hoàn hảo làm nền tảng vững chắc cho toàn bộ toán học thì Pascal đã sớm nhận ra rằng hệ tiên đề phụ thuộc hoàn toàn vào TRỰC GIÁC.
Nhưng trực giác là cái gì? Nó ở đâu ra?
Trực giác là một dạng đặc biệt của ý thức. Nhưng không ai biết ý thức là gì, mặc dù mọi người đều thừa nhận sự hiện hữu của ý thức. Một dịp khác chúng ta sẽ thảo luận kỹ về bản chất của ý thức. Nhưng ngay bây giờ nên biết rằng mặc dù Descartes và Pascal khác nhau ở tinh thần duy lý và không duy lý, nhưng giống nhau ở chỗ cho rằng vấn đề ý thức vượt quá tầm với của tư duy duy lý. Thật vậy, trong “Luận đề về ý thức”, Descartes cho rằng ý thức không phải là vật chất và không thể quan sát được, do đó buộc phải thừa nhận ý thức do Chúa truyền cho chúng ta. Còn Pascal thì sao?
Theo Bách khoa toàn thư Wikipedia, trong tiểu luận “Về nghệ thuật thuyết phục” (L’Art de persuader), Pascal “ nhấn mạnh rằng những nguyên lý đầu tiên này chỉ có thể nắm bắt được bằng trực giác, và rằng sự thật này khẳng định sự cần thiết phải nhờ cậy đến Chúa trong việc khám phá chân lý ” (10) .
Tóm lại, triết học toán học của Pascal đưa chúng ta tới chỗ buộc phải đối diện với câu hỏi vượt ra ngoài phạm vi toán học, đó là vấn đề hiện hữu của Chúa. Hoá ra chính toán học chứ không phải thần học buộc chúng ta phải trả lời câu hỏi “hệ tiên đề đến từ đâu?”.
Tóm lại, đối với Pascal, khoa học duy lý tuy có sức mạnh đáng kể, nhưng đến một mức độ nào đó, nó phải dừng lại trước những bí mật vượt ra ngoài giới hạn của nó. Ông viết trong Pensées:
“ Chủ nghĩa vô thần thể hiện sức mạnh của tinh thần, nhưng chỉ ở một mức độ nhất định mà thôi ” (11) .
Nói cách khác, theo Pascal, chủ nghĩa duy lý chỉ có sức mạnh giới hạn, và sẽ đến lúc nó phải nhường chỗ cho tư duy cảm thụ, do đó: “Bước cuối cùng của lý lẽ là nhận ra rằng tồn tại vô số thứ ở phía bên kia tầm với”.
Với tinh thần phê phán chủ nghĩa duy lý như thế, Pascal không được nhiều nhà khoa học và triết học duy lý ủng hộ. Đó là lý do đa số mọi người chỉ biết đến Pascal như một thần đồng toán học và một nhà khoa học vĩ đại, nhưng hầu như không biết gì về triết học vô cùng sâu sắc của Pascal. Nhưng Định lý Gödel buộc chúng ta phải tìm hiểu lại Pascal một cách đầy đủ, bởi lẽ, tư tưởng của ông chính là tư tưởng của Gödel ba trăm năm sau.
Chú thích:
(1) Citations, Blaise Pascal: La dernière démarche de la raison est de reconnaître qu’il y a une infinité de choses qui la surpassent http://dicocitations.lemonde.fr/citations/citation-136022.php
Một dị bản của câu nói trên: The end point of rationality is to demonstrate the limits of rationality (Điểm kết thúc của luận lý là chứng minh tính hạn chế của lý luận) https://quotefancy.com/quote/776789/Blaise-Pascal-The-end-point-of-rationality-is-to-demonstrate-the-limits-of-rationality
(2) Philocité : Nous connaissons la vérité, non seulement par la raison, mais encore par le cœur http://philocite.blogspot.com.au/2016/05/nous-connaissons-la-verite-non.html
(3) Le cœur a ses raisons que la raison ne connaît point http://www.linternaute.com/citation/4184/le-c-ur-a-ses-raisons-que-la-raison-ne-connait–blaise-pascal/
(4) https://viethungpham.com/2019/01/10/separating-truths-from-provability-phan-biet-chan-ly-voi-kha-nang-chung-minh/
(5) Từ ngữ được GS Hoàng Tuỵ sử dụng trong bài “Dạy toán ở trường phổ thông: nhiều điều chưa ổn”, tạp chí Tia sáng số Tháng 12/ 2001.
(6) Xem “Hệ tiên đề Hilbert có hoàn hảo?”, Phạm Việt Hưng, Tia Sáng, số Tháng 08/2002 https://diendantoanhoc.net/topic/1128-h%E1%BB%87-tien-d%E1%BB%81-hilbert-co-hoan-h%E1%BA%A3o-khong/
(7) Pascal, De l’Esprit Géométrique : Toutes ces vérités ne se peuvent démontrer, et cependant ce sont les fondements et les principes de la géométrie https://www.ime.usp.br/~pleite/pub/artigos/pascal/de_lesprit_geometrique.pdf
(8) Pensées de Pascal : (…si cette science ne définit pas et ne démontre pas toutes choses, c’est par cette seule raison que cela nous est impossible) http://www.penseesdepascal.fr/Soumission/Soumission4-approfondir.php
(9) Les Pensées de Blaise Pascal : (Si on n’assure le fondement on ne peut assurer l’édifice) http://www.penseesdepascal.fr/Fondement/Fondement-suite.php
(10) Wikipedia, Blaise Pascal: He asserted that these principles can be grasped only through intuition, and that this fact underscored the necessity for submission to God in searching out truths https://en.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal
(11) Citations: Athéisme marque de force d’esprit, mais jusqu’à un certain degré seulement http://dicocitations.lemonde.fr/citations/citation-13560.php
Đăng tải với sự cho phép.
Tác giả: GS Phạm Việt Hưng
Giáo sư Phạm Việt Hưng từng giảng dạy các môn Toán Kinh tế; Cơ học Lý thuyết; Sức bền Vật liệu; Toán luyện thi đại học. Hiện ông đang thỉnh giảng Toán cao cấp tại một đại học ở Việt Nam. Ông đang có nhiều hoạt động báo chí với nhiều bài viết được đăng trên nhiều báo in và báo mạng, ví như Khoa học & Đời sống của Hội Liên hiệp Khoa học & Kỹ thuật Việt Nam, Tạp chí Vật lý Ngày nay của Hội Vật lý Việt Nam, Tạp chí Tia Sáng của Bộ Khoa học, Công nghệ và Môi trường, Trang mạng Vietsciences.
Email: [email protected]
Website: viethungpham.com
