Tiểu mục “Cà phê toán cùng Đại Kỷ Nguyên” trong chuyên mục Khoa Học cung cấp cho độc giả những bài toán đố thú vị, hi vọng sẽ là một món ăn tinh thần bổ ích bên tách cà phê sáng giúp bộ não khởi động óc tư duy, sáng tạo trước một ngày làm việc đầy niềm vui.
Đề bài:
Có 100 chiếc tất màu đen và màu trắng trong một cái ngăn kéo. Hỏi phải rút bao nhiều chiếc tất ra khỏi ngăn kéo để đảm bảo có ít nhất một cặp? Từ đó hãy lập công thức chung cho một lô tất với N màu tất khác nhau.
Bạn đã nghĩ ra câu trả lời?
Gợi ý:
Một chiếc tất có thể có màu trắng hoặc đen, và một cặp tất thì có thể là một cặp tất cùng màu đen hoặc trắng.
Lời giải:
Với hai màu tất
Trên thực tế đối với câu hỏi này có nhiều người sẽ đưa ra những câu trả lời đại loại như, 49,51,99, 101,… Nhưng nếu vậy thì thực ra họ đang trả lời một câu hỏi khác. Họ đang trả lời câu hỏi rằng, tôi phải rút ra bao nhiêu chiếc tất để có một cặp tất trắng, hay một cặp tất đen, nói chung là một cặp tất cùng một màu. Đây không phải là câu hỏi được đưa ra trong bài, câu hỏi chỉ nói là làm sao để rút được một cặp tất mà thôi.
Vậy hãy suy nghĩ một cách logic, nếu chúng ta rút 1 chiếc tất nó không thể là một cặp. Nếu chúng ta rút 2 chiếc tất chúng có thể là hai màu sắc khác nhau, do đó tất nhiên cũng không được, bởi cọc cạch rồi.
Do đó chúng ta có thể sẽ phải rút đến chiếc tất thứ ba, nếu trước đó đã rút phải một chiếc tất đen và một chiếc tất trắng. Khi rút chiếc tất thứ ba này, thì nó sẽ phải có màu đen hoặc màu trắng, và sẽ hợp thành một cặp với 1 trong 2 chiếc tất đã rút trước đây. Vậy kết quả cuối cùng là rút nhiều nhất
Với N màu tất khác nhau
Cách tính tượng tự cũng áp dụng với N màu tất khác nhau. Chẳng hạn có rất nhiều chiếc tất với N màu sắc khác nhau, thì để có được 1 cặp tất cùng màu, mà chẳng may lâm vào trường hợp tệ nhất, khi mỗi lần rút toàn rút phải tất với màu sắc khác biệt với tất cả các lần rút trước đó, thì sẽ phải rút nhiều nhất N + 1 lần để có được một cặp tất hoàn chỉnh. Bỏi lẽ chỉ có N màu tất khác nhau, nên chiếc tất thứ N + 1 sẽ có màu sắc trùng với 1 trong N chiếc tất đã rút trong các lần rút trước đây.
Vậy công thức chung là, đối với một lô tất với N màu tất khác nhau, thì chỉ cần phải rút nhiều nhất N + 1 chiếc tất, trước khi có được một cặp tất cùng màu, không cọc cạch.
Điều này luôn luôn đúng, bất kể lô tất của bạn có bao nhiều chiếc tất khác màu, 10 đỏ, 5 xanh lục, 1 xanh dương, 100 vàng, thì vẫn chỉ là 4 màu sắc mà thôi. Rút đến 5 chiếc tất, thì chắc chắn sẽ có ít nhất 1 cặp tất cùng màu.
Quý Khải